Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|x+1|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）.\end{array}$
（1）求函数f（x）在[-2，4]上的解析式；
（2）若方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的递推关系式，求解分段函数的解析式即可．
（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出a 的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|x+1|，x∈[-2，0]\\ 2f（x-2），x∈（0，+∞）.\end{array}$，
x∈（0，2]时，x-2∈（-2，0），可得f（x）=2（1-|x-1|）=2-2|x-1|．
x∈（2，4]时，x-2∈（0，2），可得f（x）=2（2-2|x-3|）=4-4|x-3|，
，∴当-2≤x≤4时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x+1|，x∈[-2，0]}\\{2-2|x-1|，x∈（0，2]}\\{4-4|x-3|，x∈（2，4]}\end{array}\right.$．
（2）作出函数f（x）在区间[-2，4]上的图象，如图所示．
设y=x+a，由图象可知要使方程f（x）=x+a在区间[-2，4]内有3个不等实根，
则直线y=x+a应位于l₁与l₂之间或直线l₃的位置，
所以实数a的取值范围是-2＜a＜0或a=1．

点评 本题考查函数的图象的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的解析式的求法，考查数形结合以及只好思想的应用．