Question

12．已知正实数a，b满足a+b=3，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{7}{8}$
• C． $\frac{9}{8}$
• D． 2

Answer 1

分析 方法一：利用基本不等式，$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$=$\frac{1}{8}$[a+（b+5）]（$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$）=$\frac{1}{8}$（5+$\frac{b+5}{a}$+$\frac{4a}{b+5}$），根据基本不等式即可求出最值．
方法二：由题意可得a的取值范围，再构造函数，利用导数和函数的最值得关系，即可求出最小值．

解答 解：方法一：∵a+b=3，
∴a+b+5=8，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$=$\frac{1}{8}$[a+（b+5）]（$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$）=$\frac{1}{8}$（1+4+$\frac{b+5}{a}$+$\frac{4a}{b+5}$）≥$\frac{1}{8}$（5+2$\sqrt{\frac{b+5}{a}•\frac{4a}{b+5}}$）=$\frac{9}{8}$，当且仅当a=$\frac{8}{3}$，b=$\frac{4}{3}$时取等号，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$的最小值为$\frac{9}{8}$，
方法二：∵a+b=3，
∴b=3-a＞0，
解得0＜a＜3，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{8-a}$，
设f（a）=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{8-a}$，0＜a＜3，
∴f′（a）=-$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{（8-a）^{2}}$=$\frac{（8-3a）（8+a）}{{a}^{2}（8-a）^{2}}$，
令f′（a）=0，解得a=$\frac{8}{3}$，
当f′（a）＞0时，解得0＜a＜$\frac{8}{3}$，函数单调递增，
当f′（a）＜0时，解得$\frac{8}{3}$＜a＜3，函数单调递减，
∴f（a）_min=f（$\frac{8}{3}$）=$\frac{9}{8}$，
故选：C．

点评 本题考查利用最值的求法，关键是掌握该类问题的求解方法，基本不等式法和导数法，属于中档题．