Question

3．在数列{a_n}中，若存在非零整数T，使得a_n+T=a_m对于任意的正整数m均成立，那么称数列{a_n}为周期数列，其中T叫做数列{a_n}的周期，若数列x_n满足x_n+1=|x${\;}_{{n}_{\;}}$-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，λ₂=a（a∈R，a≠0），当数列x_n的周期最小时，该数列的前2015项的和是1343a+1（a≥1）．

Answer 1

分析 ①若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，而该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列，矛盾，舍去．②若其最小周期为2，同理得出矛盾，舍去．综上所述，当数列{x_n}的周期最小时，其最小周期是3，即可得出．

解答 解：①若其最小周期为1，则该数列是常数列，即每一项都等于1，此时a=1，
而该数列的项分别为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此时该数列是以3为周期的数列，矛盾，舍去．
②若其最小周期为2，则有a₃=a₁，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此时该数列的项依次为1，2，1，1，0，…，由此可见，此时它并不是以2为周期的数列，舍去．
综上所述，当数列{x_n}的周期最小时，其最小周期是3．
（i）a≥1时，a₁=1，a₂=a，a₃=|a-1|=a-1，a₄=|a-1-a|=1，a₅=a，…，此时该数列的前2 015项和是671×（1+a+a-1）+（1+a）=1343a+1．
（ii）a＜1，a≠0时，a₁=1，a₂=a，a₃=|a-1|=1-a，a₄=|1-a-a|=1，解得a=0或1，舍去．
故答案为：1343a+1（a≥1）．

点评 本题考查了数列的周期性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．