Question

8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=-2．

Answer 1

分析 根据f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），可以确定函数f（x）的周期为3，利用条件求出函数一个周期内的函数值的和，即可求得f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

解答 解：∵f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），即f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
故函数f（x）为周期函数，且周期为3，
∵f（0）=2，f（-2）=f（-1）=-1
f（1）=f（-2+3）=f（-2）=-1，f（2）=f（-3+2）=f（-1）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=671×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）+f（2）=671×0-1-1=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查了函数的周期性的应用．解题的关键是寻找到函数f（x）的周期为3，利用周期性将所求表达式转化为简单数值的求解．属于中档题．