Question

19．已知函数$f（x）=Asin（{ωx+ϕ}）（{A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}}）$的图象（部分）如图所示．
（I）求函数f（x）的解析式；
（ II）求函数f（x）在区间$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=$\frac{1}{3}$时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式．
（II）由x的范围，可求πx+$\frac{π}{6}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（ I）由图得：A=2．
由$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•$$\frac{2π}{ω}$=$\frac{5}{6}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，解得ω=π．…（4分）
由f（$\frac{1}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$+Φ）=2，可得$\frac{π}{3}$+Φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，解得Φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，
又|Φ|＜$\frac{π}{2}$，可得Φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$）．…（8分）
（ II）∵x∈$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$，
∴πx+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\sqrt{3}$≤2sin（πx+$\frac{π}{6}$）≤2，即f（x）的最大值为2，最小值为-$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．