Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）当函数f（A）=2sin²（A+$\frac{π}{4}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）取最大值时，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和余弦定理化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角B；
（Ⅱ）由二倍角余弦公式的变形、诱导公式、两角和的余弦函数、两角差的正弦函数化简f（A），由内角和定理和条件求出A的范围，利用正弦函数的最值求出A，即可判断出△ABC的形状．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²，
∴4a²cosB-2accosB=a²+（a²+c²-2accosB）-c²，
化简得，cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）f（A）=2sin²（A+$\frac{π}{4}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）
=1-cos（2A+$\frac{π}{2}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）
=1+sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$sin2A
=1+$\frac{3}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A=$\sqrt{3}sin（2A-\frac{π}{6}）+1$，
∵B=$\frac{π}{3}$，∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，则$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
当$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，即A=$\frac{π}{3}$，f（A）取到最大值，
此时△ABC是正三角形．

点评 本题考查余弦定理，正弦函数的最值，以及二倍角余弦公式的变形等公式的应用，考查化简、化简能力．