Question

6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\sqrt{3}$acosC-csinA=$\sqrt{3}$b．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=7，△ABC的周长为15，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦函数化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（Ⅱ）由题意求出b+c的值，由条件和余弦定理列出方程化简后求出bc的值，由三角形的面积公式求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$acosC-csinA=$\sqrt{3}$b，
∴由正弦定理得，$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=$\sqrt{3}$sinB，
又A+B+C=π，则$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=$\sqrt{3}$sinB=$\sqrt{3}$sin（A+C），
∴$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=$\sqrt{3}$（sinAcosC+cosAsinC）
化简得，-sinCsinA=$\sqrt{3}$cosAsinC，
∵sinC≠0，∴-sinA=$\sqrt{3}$cosA，则tanA=$-\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=7，△ABC的周长为15，∴b+c=8，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
∴64-bc=49，则bc=15，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×15×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查余正弦定理、弦定理，三角形的面积公式，以及两角和的正弦函数等公式的应用，考查化简、化简能力．