Question

4．函数y=g（x）的图象是由函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x的图象向左平移$\frac{1}{6}$个周期而得到的，则函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=$\frac{π}{3}$，x轴围成的封闭图形的面积为（　　）

• A． π
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定积分的几何意义，求得g（x）的图象与直线x=0，x=$\frac{π}{3}$，x轴围成的封闭图形的面积．

解答 解：函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的周期为$\frac{2π}{2}$=π，
∵函数y=g（x）的图象是由函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象向左平移$\frac{1}{6}$个周期，
即向左平移$\frac{π}{6}$个单位而得到的，
∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{3}$）=2sin2x，
故函数y=g（x）的图象与直线x=0，x=$\frac{π}{3}$，x轴围成的封闭图形的面积
S=${∫}_{0}^{\frac{π}{3}}$2sin2xdx=-cos2x${|}_{0}^{\frac{π}{3}}$=-cos$\frac{2π}{3}$-（-cos0）=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的周期性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，定积分的几何意义，属于中档题．