Question

5．F₁，F₂是椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1与双曲线C₂：的公共焦点，A，B分别是C₁，C₂在第二，四象限的公共点，若四边形AF₁BF₂为矩形．
（1）求双曲线C₂的标准方程；      
（2）求S${\;}_{△{F}_{1}A{F}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）设|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用椭圆的定义，四边形AF₁BF₂为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的标准方程；      
（2）S${\;}_{△{F}_{1}A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}xy$，即可得出结论．

解答 解：（1）设|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵点A为椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，∴x²+y²=（2c）²=12，②
由①②解得x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$
设双曲线C₂的实轴长为2a′，焦距为2c′，
则2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{2}$，2c′=2$\sqrt{3}$，∴b=1…（5分）
∴双曲线C₂的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1；  …（8分）
（2）由（1）可得S${\;}_{△{F}_{1}A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}xy$=1．…（12分）

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查三角形面积的计算，求得|AF₁|与|AF₂|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．