Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{2-x}}，x＜2\\{log_3}（x+1），x≥2\end{array}\right.$若对任意的x∈R，af²（x）≥4f（x）-1成立，则实数a的最小值为3．

Answer 1

分析 设u=f（x）≥1，对任意的x∈R，af²（x）≥4f（x）-1成立，可得a≥$\frac{4}{u}$-$\frac{1}{{u}^{2}}$=-（$\frac{1}{u}$-2）²+4，即可求出实数a的最小值．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{2-x}}，x＜2\\{log_3}（x+1），x≥2\end{array}\right.$的图象如图所示，
设u=f（x）≥1，
对任意的x∈R，af²（x）≥4f（x）-1成立，
∴a≥$\frac{4}{u}$-$\frac{1}{{u}^{2}}$=-（$\frac{1}{u}$-2）²+4，
∵0＜$\frac{1}{u}$≤1，
∴-（$\frac{1}{u}$-2）²+4≤3
∴a≥3，当u=1，x=2时取等号，
∴a的最小值是3．
故答案为3．

点评 本题考查恒成立问题，考查参数分离方法的运用，考查函数的最值，属于中档题．