Question

5．如图，在四面体P-ABC中，PA=PB=PC=4，点O是点P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则四面体P-ABC的外接球的体积为（　　）

• A． 8$\sqrt{6}$π
• B． 24π
• C． 32$\sqrt{3}$π
• D． 48π

Answer 1

分析 推导出AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，由题意知四面体P-ABC的外接球的球心O′在线段PO上，从而O′O²+AO²=AO^'2，进而求得R=$\sqrt{6}$，由此能求出四面体P-ABC的外接球的体积．

解答 解：∵在四面体P-ABC中，PA=PB=PC=4，点O是点P在平面ABC上的投影，且tan∠APO=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠APO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos$∠APO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴AO=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PO=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
由题意知四面体P-ABC的外接球的球心O′在线段PO上，
∴O′O²+AO²=AO^'2，
∴（$\frac{4\sqrt{6}}{3}-R$）²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=R²，解得R=$\sqrt{6}$，
∴四面体P-ABC的外接球的体积为8$\sqrt{6}$π．
故选：A．

点评 本题考查四面体的外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四面体、球的性质的合理运用．