Question

10．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x-2）²+（y-3）²=1交于点M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数k使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$（其中O为坐标原点），如果存在请求出k的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可．
（2）设出M，N的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达定理，结合向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可．

解答 解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由$\frac{|2k-3-1|}{1+{k}^{2}}$＜1，解得：$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$
所以k的取值范围为得（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
将y=kx+1代入方程：（x-2）²+（y-3）²=1，
整理得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0．
所以x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）（x₁x₂）+k（x₁+x₂）+1=$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}$=12，
解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．
故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力，是中档题．