Question

9．已知△ABC中，角C为直角，D是BC边上一点，M是AD上一点，且|CD|=1，∠DBM=∠DMB=∠CAB，则|MA|=2．

Answer 1

分析 设∠DBM=θ，在△CDA中，由正弦定理可得$\frac{CD}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AC}{sin2θ}$，在△AMB中，由正弦定理可得$\frac{MA}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AB}{sin（π-θ）}$，继而可得$\frac{CD}{MA}$=$\frac{1}{2}$，问题得以解决

解答 解：设∠DBM=θ，则∠ADC=2θ，∠DAC=$\frac{π}{2}$-2θ，∠AMB=$\frac{π}{2}$-2θ，
在△CDA中，由正弦定理可得$\frac{CD}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AC}{sin2θ}$，
在△AMB中，由正弦定理可得$\frac{MA}{sin（\frac{π}{2}-2θ）}$=$\frac{AB}{sin（π-θ）}$，
∴$\frac{CD}{MA}$=$\frac{ACsinθ}{ABsin2θ}$=$\frac{ACsinθ}{2ABsinθcosθ}$=$\frac{1}{2}$，
从而MA=2，
故答案为：2．

点评 本题考查了正弦定理的应用，关键是掌握应用的条件，属于中档题．