Question

19．已知在各棱长都为2的三棱锥A-BCD中，棱DA，DB，DC的中点分别为P，Q，R，则三棱锥Q-APR的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{8}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{12}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{16}$

Answer 1

分析 取CD中点E，连结BE，AE，作AO⊥底面BCD，交BE于O，A到平面PQR的距离h=$\frac{1}{2}AO$，三棱锥Q-APR的体积为V_Q-APR=V_A-BCD，由此能求出结果．

解答 解：取CD中点E，连结BE，AE，作AO⊥底面BCD，交BE于O，
∵在各棱长都为2的三棱锥A-BCD中，棱DA，DB，DC的中点分别为P，Q，R，
∴QR=QP=PR=1，∴S_△PQR=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
BE=AE=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，OE=$\frac{1}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AO=$\sqrt{3-\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，A到平面PQR的距离h=$\frac{1}{2}AO=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴三棱锥Q-APR的体积为：
V_Q-APR=V_A-BCD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△PQR}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥的体积的取值范围的求法，考查空间想象能力与计算能力，考查空间思维能力，考查推理论证能力，考查数形结合思想、等价转化思想，是中档题．