Question

8．已知△ABC中，3sin²B+7sin²C=2sinAsinBsinC+2sin²A，则sin（A+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 3sin²B+7sin²C=2sinAsinBsinC+2sin²A，由正弦定理可得：3b²+7c²=2bcsinA+2a²，由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，化为：2（sinA-2cosA）=$\frac{{b}^{2}+5{c}^{2}}{bc}$=$\frac{b}{c}$+$\frac{5c}{b}$，再利用基本不等式的性质即可得

解答 解：3sin²B+7sin²C=2sinAsinBsinC+2sin²A，
由正弦定理可得：3b²+7c²=2bcsinA+2a²，
∴a²=$\frac{3{b}^{2}+7{c}^{2}-2bcsinA}{2}$，又a²=b²+c²-2bccosA，
∴$\frac{3{b}^{2}+7{c}^{2}-2bcsinA}{2}$=b²+c²-2bccosA，
化为：2（sinA-2cosA）=$\frac{{b}^{2}+5{c}^{2}}{bc}$=$\frac{b}{c}$+$\frac{5c}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{c}×\frac{5c}{b}}$=2$\sqrt{5}$，当且仅当b=$\sqrt{5}$c时取等号．
即2$\sqrt{5}$sin（A-θ）≥2$\sqrt{5}$，其中tanθ=2，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，cosθ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
即sin（A-θ）≥1，又sin（A-θ）≤1，
∴sin（A-θ）=1．
∴A-θ=$\frac{π}{2}$+2kπ，即A=θ+$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈N^*．
∴sin（A+$\frac{π}{4}$）=$sin（θ+\frac{π}{4}+\frac{π}{2}+2kπ）$=cos$（θ+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（cosθ-sinθ）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$（\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}）$=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．