Question

3．已知在△ABC所在平面内有两点P、Q，满足$\stackrel{→}{PA}$+$\stackrel{→}{PC}$=0，$\stackrel{→}{QA}$+$\stackrel{→}{QB}$+$\stackrel{→}{QC}$=$\stackrel{→}{BC}$，若|$\stackrel{→}{AB}$|=4，|$\stackrel{→}{AC}$|=2，S_△APQ=$\frac{2}{3}$，则$\stackrel{→}{AB}$•$\stackrel{→}{AC}$的值为（　　）

• A． 4
• B． ±4
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． ±4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$及$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{BC}$即可得出点P为AC中点，点Q为靠近点B的AB的三等分点，从而可求出$|\overrightarrow{AQ}|=\frac{8}{3}，|\overrightarrow{AP}|=1$．然后根据${S}_{△APQ}=\frac{2}{3}$即可求出cosA=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴P为AC中点；
由$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{BC}$得，$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}+\overrightarrow{QC}=\overrightarrow{QC}-\overrightarrow{QB}$；
∴$\overrightarrow{QA}=-2\overrightarrow{QB}$；
∴Q为靠近B的AB的三等分点，如图所示：

$|\overrightarrow{AQ}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}|=\frac{8}{3}$，$|\overrightarrow{AP}|=1$；
∴${S}_{APQ}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AQ}||\overrightarrow{AP}|sinA$
=$\frac{1}{2}•\frac{8}{3}sinA$
=$\frac{2}{3}$；
∴$sinA=\frac{1}{2}$；
∴$cosA=±\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA$
=$4×2×（±\frac{\sqrt{3}}{2}）$
=$±4\sqrt{3}$．
故选D．

点评 考查向量减法及数乘的几何意义，向量的数乘运算，三角形的面积公式，向量数量积的计算公式．