Question

12．设离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，点P是E上一点，PF₁⊥PF₂，△PF₁F₂内切圆的半径为$\sqrt{2}$-1．
（1）求E的方程；
（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率求得a=$\sqrt{2}$c，根据勾股定理及椭圆的定义，求得a-c=$\sqrt{2}$-1．b²=a²-c²=1，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，由两平行之间的距离公式，由矩形的周长公式2（丨AB丨+d）=$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，代入即可求得m的值，求得直线AB的方程．

解答 解：（1）∵离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$c，①
由PF₁⊥PF₂，则丨PF₁丨²+丨PF₂丨²=丨F₁F₂丨²=4c²，
由椭圆的定义可知；丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，则丨F₁F₂丨²=（丨PF₁丨+丨PF₂丨）²-2丨PF₁丨•丨PF₂丨，
∴丨PF₁丨•丨PF₂丨=2a²-2c²，
，△PF₁F₂的面积S，S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨=$\frac{1}{2}$×R×（丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨），
则a-c=$\sqrt{2}$-1．②
由①②解得：a=$\sqrt{2}$，c=1，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意设直线l的方程：y=x+m，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-4×3（2m²-2）=-2m²+3＞0，解得-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{3}$，
则丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{4m}{3}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-2}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3-{m}^{2}}}{3}$，
直线AB，CD之间的距离d=$\frac{丨m-2丨}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}丨m-2丨}{2}$，
由矩形ABCD的周长为$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，则2（丨AB丨+d）=$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，
则2（$\frac{4\sqrt{3-{m}^{2}}}{3}$+$\frac{\sqrt{2}丨m-2丨}{2}$）=$\frac{11\sqrt{2}}{3}$，解得：m=1，
则直线AB的方程为y=x+1．

点评 本题考查椭圆方程标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及弦长公式，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想，难度大，对数学思维能力要求较高，属于中档题．