Question

4．已知函数f（x）=$\frac{sinx}{2+cosx}$，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． [$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• D． [-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]

Answer 1

分析 由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得k的范围．

解答 解：函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，
由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，
当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），
由f（x）的导数f′（x）=$\frac{cosx（2+cosx）-sinx（-sinx）}{（2+cosx）^{2}}$
=$\frac{2cosx+1}{（2+cosx）^{2}}$，
可得切线的斜率为$\frac{2cos0+1}{（2+cos0）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
可得切线的方程为y=$\frac{1}{3}$x，
结合图象，可得k≥$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．