Question

2．如图，已知抛物线E：y²=2px（p＞0）与圆O：x²+y²=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x₀，y₀）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l₁，l₂，l₁与l₂相交于点M．
（1）求抛物线E的方程；
（2）求点M到直线CD距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）由2px_A=4，p=1．即可求得p的值，求得抛物线方程；
（2）分别求得直线l₁，l₂方程，联立，求得交点M坐标，求得足$x_0^2+y_0^2=8$，${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，利用点到直线的距离公式，根据函数的单调性即可求得点M到直线CD距离的最大值．

解答 解：（1）由x_A=2得$y_A^2=4$，故2px_A=4，p=1．
于是，抛物线E的方程为y²=2x．
（2）设$C（{\frac{y_1^2}{2}，{y_1}}）$，$D（{\frac{y_2^2}{2}，{y_2}}）$，切线l₁：$y-{y_1}=k（{x-\frac{y_1^2}{2}}）$，
代入y²=2x得$k{y^2}-2y+2{y_1}-ky_1^2=0$，由△=0解得$k=\frac{1}{y_1}$，
∴l₁方程为$y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}$，同理l₂方程为$y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{y_1}x+\frac{y_1}{2}\\ y=\frac{1}{y_2}x+\frac{y_2}{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{y_1}•{y_2}}}{2}\\ y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}\end{array}\right.$，
易得CD方程为x₀x+y₀y=8，其中x₀，y₀满足$x_0^2+y_0^2=8$，${x_0}∈[{2，2\sqrt{2}}]$，
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2x\\{x_0}x+{y_0}y=8\end{array}\right.$得${x_0}{y^2}+2{y_0}y-16=0$，则$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=-\frac{{2{y_0}}}{x_0}\\{y_1}•{y_2}=-\frac{16}{x_0}\end{array}\right.$，
∴M（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{8}{x_0}\\ y=-\frac{y_0}{x_0}\end{array}\right.$，即点M为$（-\frac{8}{x_0}，-\frac{y_0}{x_0}）$．
点M到直线CD：x₀x+y₀y=8的距离$d=\frac{{|{-8-\frac{y_0^2}{x_0}-8}|}}{{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}}=\frac{{\frac{y_0^2}{x_0}+16}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\frac{8-x_0^2}{x_0}+16}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{\frac{8}{x_0}-{x_0}+16}}{{2\sqrt{2}}}$，
关于x₀单调减，
故当且仅当x₀=2时，${d_{max}}=\frac{18}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查点到直线的距离公式，函数单调性与抛物线的综合应用，考查计算能力，属于中档题．