Question

6．已知双曲线经过点$（{1，2\sqrt{2}}）$，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=m，又由其过点$（{1，2\sqrt{2}}）$，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=m，（m≠0），
又由其经过点$（{1，2\sqrt{2}}）$，则有1-$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{4}$=m，
解可得m=-1，
则其方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=-1，
其标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1，
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意最后的答案要检验其是否为标准方程的形式．