Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F分别是AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥PA；
（Ⅱ）证明：GF⊥平面PBC．

Answer 1

分析 （I）以D为原点建立空间直角坐标系，利用$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DC}$=0，证得PA⊥CD；
（Ⅱ）利用$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{PC}$=0，去证GF⊥平面PCB．

解答 证明：（I）以D为原点建立空间直角坐标系则A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）
 $\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DC}$=0，∴$\overrightarrow{PA}$⊥$\overrightarrow{DC}$，
∴PA⊥CD；
（Ⅱ）设G（1，0，0）则$\overrightarrow{FG}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2）
∴$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{CB}$=0，$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{PC}$=0，
∴FG⊥CB，FG⊥PC，
∵CB∩PC=C，
∴GF⊥平面PCB．

点评 本题考查线面、面面位置关系的证明．借助于空间向量的运算，降低了思维难度，增加了解题方法．