Question

14．已知$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ 3x+5y-15≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，则$z=\frac{y}{x}$的范围是$[\frac{8}{15}，\frac{12}{5}]$．

Answer 1

分析 画出满足约束条件的可行域，求出各角点的坐标，分析目标函数$z=\frac{y}{x}$的几何意义，进而数形结合求出目标函数的取值范围．

解答 解：满足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+3≤0\\ 3x+5y-15≤0\\ x≥1\end{array}\right.$的可行域如下图所示：由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{3x+5y-15=0}\end{array}\right.$，解得A（1，$\frac{12}{5}$），由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y-15=0}\end{array}\right.$解得B（$\frac{45}{17}$，$\frac{24}{17}$）
则$z=\frac{y}{x}$表示可行域内动点（x，y）与O（0，0）点连线的斜率
k_OA=$\frac{12}{5}$；k_OB=$\frac{\frac{24}{17}}{\frac{45}{17}}$=$\frac{8}{15}$；
故z的范围是$[\frac{8}{15}，\frac{12}{5}]$．
故答案为：$[\frac{8}{15}，\frac{12}{5}]$．

点评 本题考查的知识点是简单的线性规划，角点法是解答此类问题的常用方法，请熟练掌握．