Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+3（x≤-1）}\\{f（x-1）+1（x＞-1）}\end{array}\right.$，方程f（x）=x+1的解从小到大排成一个数列{a_n}，该数列的前n项和为S_n，则$\frac{2{S}_{n+3}+10}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{28}{3}$
• B． $\frac{19}{2}$
• C． 6
• D． 2$\sqrt{10}$+3

Answer 1

分析 分别讨论当x≤-1时，当-1＜x＜0时，当0＜x＜1时，当1＜x＜2时，…，当n＜x＜n+1，运用分段函数式，再解方程f（x）=x+1可得方程的根，由等差数列的求和公式结合基本不等式，以及n为自然数，即可得到所求最小值．

解答 解：当x≤-1时，f（x）=x+1，即3x+3=x+1，解得x=-1；
当-1＜x≤0时，-2＜x-1≤-1，f（x）=f（x-1）+1=3（x-1）+3+1=3x+1，f（x）=x+1的解为x=0；
当0＜x≤1时，-2＜x-2≤-1，f（x）=3（x-2）+3+2=3x-1，f（x）=x+1的解为x=1；
当1＜x≤2时，-2＜x-3≤-1时，f（x）=3（x-3）+3+3=3x-3，f（x）=x+1的解为x=2；
当2＜x≤3时，-2＜x-4≤-1时，f（x）=3（x-4）+3+4=3x-5，f（x）=x+1的解为x=3；
…
当n＜x≤n+1，-2＜x-n-2≤-1时，f（x）=3（x-n-2）+3+n+2=3x-2n-1，f（x）=x+1的解为x=n+1．
则数列{a_n}：-1，0，1，2，3，4，…，n-1，n，…
可得数列的前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$n（n-3），
则$\frac{2{S}_{n+3}+10}{n}$=$\frac{2×\frac{1}{2}n（n+3）+10}{n}$=n+$\frac{10}{n}$+3≥3+2$\sqrt{n•\frac{10}{n}}$=2$\sqrt{10}$+3，
但n=$\frac{10}{n}$，即n=$\sqrt{10}$∉N*，当n=3时，3+$\frac{10}{3}$+3=$\frac{28}{3}$；当n=4时，4+$\frac{10}{4}$+3=$\frac{19}{2}$．
则取n=3时，可得最小值$\frac{28}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查函数方程的转化，以及数列的求和及基本不等式的运用，注意n为自然数，考查化简整理的运算能力，运用分段函数和求得方程的解是解题的关键，属于难题．