Question

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\sqrt{3}x+y-4=0$，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=1+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线C₃：$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数，t＞0，$0＜α＜\frac{π}{2}$）分别交C₁，C₂于A，B两点，当α取何值时，$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$取得最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，求曲线C₁，C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}$=$\frac{1}{4}×2sinα（{\sqrt{3}cosα+sinα}）$=$\frac{1}{4}（{\sqrt{3}sin2α-cos2α+1}）$=$\frac{1}{4}[{2sin（{2α-\frac{π}{6}}）+1}]$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，C₁的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ-4=0$，
C₂的普通方程为x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，对应极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅱ）曲线C₃的极坐标方程为θ=α（ρ＞0，$0＜α＜\frac{π}{2}$）
设A（ρ₁，α），B（ρ₂，α），则${ρ_1}=\frac{4}{{\sqrt{3}cosα+sinα}}$，ρ₂=2sinα，
所以$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}=\frac{ρ_2}{ρ_1}$=$\frac{1}{4}×2sinα（{\sqrt{3}cosα+sinα}）$=$\frac{1}{4}（{\sqrt{3}sin2α-cos2α+1}）$=$\frac{1}{4}[{2sin（{2α-\frac{π}{6}}）+1}]$，
又$0＜α＜\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{6}＜2α-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
所以当$2α-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$时，$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$取得最大值$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．