Question

本小题满分12分）设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合：①方程f (x)一x=0有实根；②函数的导数满足0＜＜1.
(1)若函数f(x)为集合M中的任意一个元素，证明：方程f(x)一x=0只有一个实根；
（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
(3)设函数f(x)为集合M中的任意一个元素，对于定义域中任意，
证明：

Answer 1

(1)令，则，故是单调递减函数,
所以，方程，即至多有一解，又由题设①知方程有实数根，所以，方程有且只有一个实数根；(2)；(Ⅲ)不妨设，∵,∴单调递增，∴,即，
令，则，故是单调递减函数，
∴,即，
∴，则有

试题分析：令，则，故是单调递减函数,
所以，方程，即至多有一解，
又由题设①知方程有实数根，
所以，方程有且只有一个实数根…………………………………..4分
(2)易知，，满足条件②；
令，
则，…………………………………..7分
又在区间上连续，所以在上存在零点，
即方程有实数根，故满足条件①，
综上可知，……………………………………8分
(Ⅲ)不妨设，∵,∴单调递增，
∴,即，
令，则，故是单调递减函数，
∴,即，
∴，则有….……………..….12分
点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合.