Question

8．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，S₇=49，a₃=5，且对任意的正整数n都有2a_n+1=a_n+a_n+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n•2ⁿ，n∈N⁺，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2a_n+1=a_n+a_n+2，知数列{a_n}为等差数列，利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和是S_n，S₇=49，a₃=5，且对任意的正整数n都有2a_n+1=a_n+a_n+2．
∴数列{a_n}为等差数列，设公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{7}=7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=49}\\{{a}_{1}+2d=5}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．…（6分）
（2）∵b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，…②
①-②得-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=$2+2×\frac{4-{2}^{n+1}}{1-2}-（2n-1）×{2}^{n+1}$
=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、裂项求和法的合理运用．