Question

13．已知函数f（x）=e^x|x²-a|（a≥0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调减区间；
（2）若存在m＞0，方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的f（x）的解析式，分别求出各段的导数，解不等式即可得到减区间；
（2）讨论a=0，a＞0，通过导数判断单调区间和极值，由方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，即可求得m的范围，进而得到m的最大值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}（{x}^{2}-1），|x|＞1}\\{{e}^{x}（1-{x}^{2}），|x|≤1}\end{array}\right.$，
当|x|＞1时，f′（x）=e^x（x²+2x-1），
由f′（x）≤0得-1-$\sqrt{2}$≤x≤-1+$\sqrt{2}$，
所以f（x）的单调减区间是（-1-$\sqrt{2}$，-1）；
当|x|≤1时，f′（x）=-e^x（x²+2x-1），
由f′（x）≤0得x≥-1+$\sqrt{2}$或x≤-1-$\sqrt{2}$．
所以f（x）的单调减区间是（-1+$\sqrt{2}$，1）；
综上可得，函数f（x）的单调减区间是（-1-$\sqrt{2}$，-1），（-1+$\sqrt{2}$，1）；
（2）当a=0时，f（x）=e^x•x²，f′（x）=e^x•x（x+2），
当x＜-2时，f′（x）＞0，f（x）递增，当-2＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增．
f（-2）为极大值，且为4e^-2，f（0）为极小值，且为0，
当a＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}（{x}^{2}-a），|x|＞\sqrt{a}}\\{{e}^{x}（a-{x}^{2}），|x|≤\sqrt{a}}\end{array}\right.$
同（1）的讨论可得，f（x）在（-∞，-$\sqrt{a+1}$-1）上增，在（-$\sqrt{a+1}$-1，-$\sqrt{a}$）上减，
在（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a+1}$-1）上增，在（$\sqrt{a+1}$-1，$\sqrt{a}$）上减，在（$\sqrt{a}$，+∞）上增，
且函数y=f（x）有两个极大值点，
f（-$\sqrt{a+1}$-1）=$\frac{2{e}^{-\sqrt{a+1}}（\sqrt{a+1}+1）}{e}$，f（$\sqrt{a+1}$-1）=$\frac{2{e}^{\sqrt{a+1}}（\sqrt{a+1}-1）}{e}$，
且当x=a+1时，f（a+1）=e^a+1（a²+a+1）＞${e}^{\sqrt{a+1}}$（$\sqrt{a+1}$-1）＞$\frac{2{e}^{\sqrt{a+1}}（\sqrt{a+1}-1）}{e}$，
所以若方程f（x）=m恰好有正根，
则m＞f（-$\sqrt{a+1}$-1）（否则至少有二个正根）．
又方程f（x）=m恰好有一个负根，则m=f（-$\sqrt{a+1}$-1）．
令令g（x）=e^-x（x+1），x≥1．g′（x）=-xe^-x＜0，
g（x）在x≥1递减，即g（x）_max=g（1）=$\frac{2}{e}$，
等号当且仅当x=1时取到．
所以f（-$\sqrt{a+1}$-1）_max=（$\frac{2}{e}$）²，等号当且仅当a=0时取到．
且此时f（-$\sqrt{a+1}$-1）=$2{e}^{\sqrt{a+1}-1}$（$\sqrt{a+1}$-1）=0，
即f（-$\sqrt{a+1}$-1）＞f（$\sqrt{a+1}$-1），
所以要使方程f（x）=m恰好有一个正根和一个负根，m的最大值为$\frac{4}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查分类讨论的思想方法，运用函数和方程的转化思想是解题的关键．