Question

20．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{5}{8}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{13}{16}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 菱形ABCD中，∠DAB=60°，△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折过程中，点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线上，三棱锥的高最大时，平面ABD⊥平面BCD．

解答 解：△ABD、△CBD为边长为1的等边三角形，将△ABD沿BD翻折形成三棱锥A-BCD如图：

点A在底面BDC的投影在∠DCB的平分线CE上，则三棱锥A-BCD的高为△AEC过A点的高；
所以当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A-BCD的高最大，体积也最大，此时AE⊥平面BCD；

求异面直线AD与BC所成的角的余弦值：

平移BC到DC′位置，|cos∠ADC′|即为所求，
AD=DC=1，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EC′=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，AC′=$\frac{\sqrt{10}}{2}$
|cos∠ADC′|=|$\frac{1+1-\frac{10}{4}}{2×1×1}$|=$\frac{1}{4}$，
所以异面直线AD与BC所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$，
故选B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．