Question

【题目】已知函数.

（1）若函数的极小值为0，求的值；

（2）且，求证：.

Answer 1

【答案】(1).(2)见解析.

【解析】

（1）根据导数在定义域内是否有零点确定分类讨论的标准为和，然后分别讨论导数的符号，确定当时在处取得极小值，再通过讨论的单调性，从而由有唯一解.

（2）一方面，可以将问题等价转化为证当时，恒成立问题，然后构造函数，通过其导数确定单调性，从而使问题得证；另一方面，也可以直接构造函数（），由其二阶导数以及的范围确定一阶导数的单调性，从而确定的符号，进而确定的单调性，可得，使问题得证.

（Ⅰ）因为

所以，

当时，，函数在定义域上递增，不满足条件；

当时，函数在上递减，在上递增，

故在取得极小值0，，

令，，所以在（0，1）单调递增，

在单调递减，故，的解为，

故.

（2）证法1：由，

，所以只需证当时，恒成立.

令

由（1）可知，令得

在上递增，故，所以命题得证.

证法2：，

设（），则，

则，又，，得，

所以单调递增，得，

所以单调递增，得，得证．