Question

【题目】已知为圆上一动点，在轴，轴上的射影分别为点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于，两点，判断以为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定点

【解析】

（1）设，，利用所给条件建立关系式，利用点在上可得的方程，即为所求；

（2）设顶点为，设出直线的方程，与椭圆的方程联立方程组，得到根与系数的关系，以及，利用向量的数量积为0得到恒等式，求得的坐标即可．

（1）设，，则，

由，可得，代入，得，

故曲线的方程为；

（2）假设存在满足条件的定点，

由对称性可知该定点必在轴上，设定点为，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立得，

设，，

则，，

所以，

，

因为，，

所以，

对任意的恒成立，

所以，解得，即定点为，

当直线的斜率不存在时，以为直径的圆也过点，

故以为直径的圆过定点.