Question

3．已知a，b，c是锐角△ABC中的角A、B、C的对边，若$B=\frac{π}{4}$，则$\frac{acosC-ccosA}{b}$的取值范围为（　　）

• A． （-1，1）
• B． $（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$
• C． $（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$
• D． $（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$

Answer 1

分析 由正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式可得：$\frac{acosC-ccosA}{b}$=$\frac{sinAcosC-sinCcosA}{sinB}$=$\frac{\frac{tanA}{tanC}-1}{\frac{tanA}{tanC}+1}$，由锐角△ABC，可得$\frac{tanA}{tanC}$=t＞0，再利用函数的单调性即可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{acosC-ccosA}{b}$=$\frac{sinAcosC-sinCcosA}{sinB}$=$\frac{sinAcosC-cosAsinC}{sinAcosC+cosAsinC}$=$\frac{tanA-tanC}{tanA+tanC}$=$\frac{\frac{tanA}{tanC}-1}{\frac{tanA}{tanC}+1}$，
∵锐角△ABC，∴$\frac{tanA}{tanC}$=t＞0，
∴$\frac{acosC-ccosA}{b}$=$\frac{t-1}{t+1}$=1-$\frac{2}{t+1}$∈（-1，1），
故选：A．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．