Question

12．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥AD，PA⊥AB，AB=AD，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）直线PD与过直线AC的平面α平行，平面α与棱PB交于点M，指明点M的位置，并证明．

Answer 1

分析 （I）根据线面垂直的判断定理可得PA⊥底面ABCD，即可得到PA⊥BD，得到BD⊥AC，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）点M是棱PB的中点，根据线面平行的性质，即可求出PD∥OM，即可得到M为PB的中点．

解答 证明（Ⅰ）：∵PA⊥AB，PA⊥AD，
∴PA⊥面ABCD
∴PA⊥BD
又已知ABCD为平行四边形，且AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC
又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）点M是棱PB的中点，
证明：如图，

连接MA，MC，MO，
∵PD∥平面MAC，平面PDB∩平面MAC=OM，PD?平面PDB
∴PD∥OM
又∵点O为BD的中点，
∴点M为PB的中点．

点评 本题考查了面面垂直的判定以及线面平行的性质，属于中档题．