Question

2．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知c=$\sqrt{3}$，b=1，B=30°．求角C及△ABC的面积S．

Answer 1

分析 由已知利用正弦定理可求sinC的值，结合C的范围，分类讨论，利用三角形内角和定理可求A的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为13分）
解：∵$\frac{sinC}{sinB}=\frac{c}{b}$，$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（3分）
∵c＞b，
∴C=60°或C=120°，…（6分）
（Ⅰ）C=60°时，A=180°-30⁰-60⁰=90⁰，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（9分）
（Ⅱ）C=120°时，A=180°-30⁰-120⁰=30⁰，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴所求的C=60°，${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或C=120°，${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于基础题．