Question

10．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（1）请将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动$\frac{π}{3}$个单位长度，得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的图象离原点O最近的对称中心．

Answer 1

分析 （1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，得到函数解析式，进一步完成数据补充．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x），利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）根据表中已知数据，解得A=3，ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{4}$．数据补全如表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

且函数表达式为f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）．
（2）由（1）知f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$），
因此g（x）=3sin[$\frac{1}{2}$（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{4}$]=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$）．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z，
令$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z，解得x=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为$（{\frac{π}{6}，0}）$．

点评 本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，是中档题．