Question

1．数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{{{2^{n+1}}{a_n}}}{{{a_n}+{2^n}}}$（n∈N₊）．
（1）证明：数列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}=\frac{a_n}{{{a_n}+{2^n}}}$，即$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2^n}{a_n}+1$，利用等差数列的定义即可证明．
（2）由（Ⅰ）利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 （1）证明：由已知可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{2^{n+1}}}}=\frac{a_n}{{{a_n}+{2^n}}}$，即$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2^n}{a_n}+1$，即$\frac{{{2^{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{2^n}{a_n}=1$，
∴数列$\left\{{\frac{2^n}{a_n}}\right\}$是公差为1的等差数列．
（2）解：由（Ⅰ）知$\frac{2^n}{a_n}=\frac{2}{a_1}+（n-1）×1=n+1$，
∴${a_n}=\frac{2^n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．