Question

11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=（a+b）²-c²，则sin（$\frac{π}{4}$+C）等于（　　）

• A． 1
• B． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用三角形面积公式表示出S，利用余弦定理表示出cosC，变形后代入已知等式，化简求出cosC的值，进而求出sinC的值，利用两角和的正弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵S=$\frac{1}{2}$absinC，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴2S=absinC，a²+b²-c²=2abcosC，
代入已知等式得：4S=a²+b²-c²+2ab，即2absinC=2abcosC+2ab，
∵ab≠0，∴sinC=cosC+1，
∵sin²C+cos²C=1，
∴2cos²C+2cosC=0，解得：cosC=-1（不合题意，舍去），cosC=0，
∴sinC=1，
则sin（$\frac{π}{4}$+C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinC+cosC）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．