Question

16．已知函数f（x）=ax²+bx+c（b＞a），且f（x）≥0对任意实数x都成立，若$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$取到最小值时，有
（1）当a=1，求f（x）；
（2）设g（x）=|f（x）-a|，对任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0恒成立，求出c与a，b的关系，利用$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$，求出函数的解析式．
（2）分类讨论转化f（x）_max-f（x）_min≤4a，利用单调性，结合不等式求解即可．

解答 解：（1）由f（x）≥0恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{△≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c≥\frac{{b}^{2}}{4a}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
记T=$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$=$\frac{4a-2b+c}{4a+2b}$≥$\frac{4a-2b+\frac{{b}^{2}}{4a}}{4a+2b}$，
设t=$\frac{b}{a}$＞1，则T=$\frac{（t-4）^{2}}{8（t+2）}$，再设u=t+2＞3，
则T=$\frac{（u-6）^{2}}{8u}$=$\frac{1}{8}$（u-12+$\frac{36}{u}$）≥0．
当b=c=4a时，$\frac{f（-2）}{f（2）-f（0）}$取最小值，此时f（x）=a（x+2）²．
当a=1时，f（x）=（x+2）²．
（2）对任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|g（x₁）-g（x₂）|≤2a，
即即当x∈[-3a，-a]时，都有g（x）_max-g（x）_min≤2a，
∵g（x）=a（x²+4x+3），g（-3a）=9a³-12a²+3a，g（-a）=a³-4a²+3a，
①当-a≤-3时，即a≥3时，g（x）在x∈[-3a，-a]上递减，
且g（x）_max-g（x）_min≤g（-3a）-f（-a）=8a³-8a²≤2a，
解得$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，无解
②当-3a≤-3＜-a≤-1，即1≤a＜3时，要使g（x）_max-g（x）_min≤2a，
只要g（-3a）=9a³-12a²+3a≤2a，解得$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$≤a≤$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
∴1≤a≤$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，
③当-3＜-3a＜-1＜-a，即$\frac{1}{3}$＜a＜1时，
要使g（x）_max-g（x）_min≤2a，
只要g（-a）=a³-4a²+3a≤2a，解得2-$\sqrt{3}$≤a≤2+$\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{3}$＜a＜1时，
④当-3a≥-1，即0＜a≤$\frac{1}{3}$时，
∴g（x）在x∈[-3a，-a]上递增，
且g（x）_max-g（x）_min=g（-a）-g（-3a）=-8a³+8a²≤2a，解得a∈R，
∴所以0＜a≤$\frac{1}{3}$．
综上，a的取值范围为（0，$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$]

点评 本题考查了函数的性质，分类讨论思想，关键是分清讨论的标准，确定最大值最小值即可，属于中档题，