Question

6．在△ABC中，点D为边BC的中点，∠BAD=90°．
（1）若cosB=$\frac{2}{3}$，求cosC；
（2）求cosC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AB=2，可求BD，BC的值，利用余弦定理可求AC，进而由余弦定理可求cosC的值．
（2）设BD=CD=x，AC=y，由正弦定理得，$\frac{y}{sinB}=\frac{2x}{sin（B+C）}$，$\frac{y}{cosB}=\frac{x}{cos（B+C）}$，两式相除，利用两角和与差的正切函数公式可求tanC=$\frac{tanB}{{1+2{{tan}^2}B}}=\frac{1}{cotB+2tanB}$，结合B的范围，进而计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在Rt△ABD中，设AB=2，
∵$cosB=\frac{2}{3}$，
∴BD=3，BC=2BD=6，
在△ABC中，由余弦定理得，
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2²+6²$-2•2•6•\frac{2}{3}=24$，
∴$AC=2\sqrt{6}$，
在△ABC中，由余弦定理得，$cosC=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}=\frac{{24+{6^2}-{2^2}}}{{2•2\sqrt{6}•6}}=\frac{{7\sqrt{6}}}{18}$．----------（6分）
（2）设BD=CD=x，AC=y，由题可得，$∠ADC=B+\frac{π}{2}，∠DAC=π-∠ADC-C=\frac{π}{2}-B-C$，
在△ABC中，由正弦定理得，$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，
∴$\frac{y}{sinB}=\frac{2x}{sin（B+C）}$，①，
在△ADC中，由正弦定理得，$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{CD}{sin∠DAC}$，
∴$\frac{y}{{sin（B+\frac{π}{2}）}}=\frac{x}{{sin（\frac{π}{2}-B-C）}}$，即$\frac{y}{cosB}=\frac{x}{cos（B+C）}$，②，
②÷①得，$tanB=\frac{1}{2}tan（B+C）$，
∴tan（B+C）=2tanB，
∴tanC=tan（（B+C）-B）=$\frac{tan（B+C）-tanB}{1+tan（B+C）•tanB}=\frac{2tanB-tanB}{1+2tanB•tanB}$=$\frac{tanB}{{1+2{{tan}^2}B}}=\frac{1}{cotB+2tanB}$，
由题知$B∈（0，\frac{π}{2}）$，tanB∈（0，+∞），$cotB+2tanB∈[{2\sqrt{2}，+∞}）$，
∴$tanC=\frac{1}{cotB+2tanB}∈（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$，可求$cosC∈[{\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，1}）$．----------（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，两角和与差的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．