Question

17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，满足f（x）+f（x+$\frac{π}{2}}$）=0对任意的x∈R恒成立，且x=$\frac{π}{6}$为其图象的一条对称轴方程，则f（${\frac{11π}{4}}$）=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 运用三角函数的图象性质求解，利用周期性得出ω值，根据对称性得出φ，根据周期性得出函数f（${\frac{11π}{4}}$）=f（3π$-\frac{π}{4}$）=f（-$\frac{π}{4}$）代入求解即可．

解答 解：∵满足f（x）+f（x+$\frac{π}{2}}$）=0对任意的x∈R恒成立，
∴f（x+π）=-f（x$+\frac{π}{2}$）=f（x）
∴周期为π，ω=2，
∵x=$\frac{π}{6}$为其图象的一条对称轴方程，
∴2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（${\frac{11π}{4}}$）=f（3π$-\frac{π}{4}$）=f（-$\frac{π}{4}$）=2sin（$-\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$，
故答案为：$-\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象性质，计算能力，属于容易题．