Question

2．（理科）在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次，在A处每投进一球得3分；在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第3次，某同学在A处的抽中率q₁=0.25，在B处的抽中率为q₂，该同学选择现在A处投第一球，以后都在B处投，且每次投篮都互不影响，用X表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

X	0	2	3	4	5
P	0.03	P2	P3	P4	P5

（1）求q₂的值；
（2）求随机变量X的数学期望E（X）；
（3）试比较该同学选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在B处投篮得分超过3分的概率的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，X=0对应的事件为“三次投篮没有一次投中”，由此能求出结果．
（2）根据题意X的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）．
（3）用C表示事件“该同学在A处投第一球，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学都在B处投，得分超过3分”，由此能示出该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率的大于该同学在A处投第一球，以后都在B处投，得分超过3分的概率．

解答 解：（1）由题意可知，X=0对应的事件为“三次投篮没有一次投中”，
∴P（X=0）=（1-q₁）（1-q₂）²=0.03，
∵q₁=0.25，解得q₂=0.8．
（2）根据题意${p}_{1}=p（X=2）=0.75×{C}_{2}^{1}×0.2×0.8=0.24$，
${p}_{2}=p（X=3）=0.25×0．{2}^{2}=0.01$，
p₃=p（X=4）=0.75×0.8²=0.48，
p₄=p（X=5）=0.24，
∴E（X）=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“该同学在A处投第一球，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学都在B处投，得分超过3分”，
则P（C）=P（X=4）+P（X=5）=0.48=24，
P（D）=0.8²+C${\;}_{2}^{1}$×0.2×0.8²=0.896，
∴P（D）＞P（C），
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率的大于该同学在A处投第一球，以后都在B处投，得分超过3分的概率．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．