Question

11．某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1：20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如表所示的频率分布表：

分数段	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	总计
频数			c	b
频率	a

（Ⅰ）求表中a，b，c的值，并估计这次考试全校高三数学成绩的及格率（成绩在[90，150]内为及格）；
（Ⅱ）设茎叶图中成绩在[100，120）范围内的样本的中位数为m，若从成绩在[100，120）范围内的样品中每次随机抽取1个，每次取出不放回，连续取两次，求取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，在[110，130）范围内的有3人，由此能求出结果．
（Ⅱ）由茎叶图得m=106，列举出一切可能的结果组成的基本事件空间，设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，列举出事件A包含的基本事件，由此能求出取出两个样本中恰好一个是数字m的概率．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由茎叶图知成绩在[50，70）范围内的有2人，
在[110，130）范围内的有3人，
∴$a=\frac{2}{20}=0.1，b=3$，
成绩在[90，110）范围内的频率为1-0.1-0.25-0.25=0.4，
∴成绩在1-0.1-0.25-0.25=0.4范围内的样本数为c=20×0.4=8，
估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为：
p=1-0.1-0.25=0.65．
（Ⅱ）由茎叶图得m=106，一切可能的结果组成的基本事件空间为：
Ω={（100，102），（100，102_（1）），（100，102_（2）），（100，116），
（100，118），（102，106_（1）），（102，106_（2）），（102，116），
（102，118），（106_（1），106_（2）），（106_（1），116），（106_（1），118），
（106_（2），116），（106_（2），118），（116，118）}，共15个基本事件组成；
设事件A=“取出的两个样本中恰好有一个是数字m”，
则A={（100，106_（1）），（100，106_（2）），（102，106_（1）），
（102，106_（2）），（106_（1），116），（106_（1），118），
（106_（2），116），106_（2），118）}，共由8个基本事件组成，
∴取出两个样本中恰好一个是数字m的概率为$P（A）=\frac{8}{15}$．

点评 本题考查茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．