Question

17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足a²-b²-c²+$\sqrt{3}$bc=0，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为$\sqrt{14}$
（ I）求角A和角B的大小；
（ II）求△ABC的各边长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到a=b，设a=b=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出a与b的长，再由sinC的值，利用正弦定理可求c的值．

解答 解：（Ⅰ）由a²-b²-c²+$\sqrt{3}$bc=0得：a²-b²-c²=-$\sqrt{3}$bc，即b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为三角形内角，
∴A=$\frac{π}{6}$，
由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=$\frac{1}{2}$，
则B=$\frac{π}{6}$．--------5分
（Ⅱ）由A=B，得到a=b=x，可得C=$\frac{2π}{3}$，
由余弦定理得AM²=x²+$\frac{{x}^{2}}{4}$-2x•$\frac{x}{2}$•（-$\frac{1}{2}$）=14，
解得：x=2$\sqrt{2}$，
可得：a=b=2$\sqrt{2}$，c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{6}$．----------10分．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．