Question

当0≤x≤

1

2

时，|ax-2x²|≤

1

2

恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：若当0≤x≤

1

2

时，|ax-2x²|≤

1

2

恒成立，即-

1

2

≤ax-2x²≤

1

2

恒成立，即2x²-ax-

1

2

≤0和2x²-ax+

1

2

≥0恒成立，即

a≥ 2x2- 1 2 x a≤ 2x2+ 1 2 x

恒成立，进而将问题转化为求函数的最值问题，得到答案．

解答： 解：若当0≤x≤

1

2

时，|ax-2x²|≤

1

2

恒成立，
即当0≤x≤

1

2

时，-

1

2

≤ax-2x²≤

1

2

恒成立，
即当0≤x≤

1

2

时，2x²-ax-

1

2

≤0和2x²-ax+

1

2

≥0恒成立，
即当0≤x≤

1

2

时，
解得：

a≥ 2x2- 1 2 x a≤ 2x2+ 1 2 x

恒成立，
∵当0≤x≤

1

2

时，y=

2x2- 1 2

x

为增函数，当x=

1

2

时，函数取最大值0，
当0≤x≤

1

2

时，y=

2x2+ 1 2

x

为减函数，当x=

1

2

时，函数取最小值2，
故

a≥0 a≤2

，
即实数a的取值范围是[0，2]，
故答案为：[0，2]

点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，恒成立问题，函数的单调性和最值，是函数与不等式的综合应用，难度中档．