Question

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1；

(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)＝1.＝1.(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，

则k₁＝，k₂＝.因为点P在双曲线x²－y²＝4上，所以x－y＝4.

因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.

(3)存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

【解析】

试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，

2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.

又a²＝b²＋c²，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.

由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，则k₁＝，k₂＝.

因为点P在双曲线x²－y²＝4上，所以x－y＝4.

因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.

(3)由于PF₁的方程为y＝k₁(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x²－8kx＋8k－8＝0，

显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.

所以|AB|＝

＝.

同理可得|CD|＝.

则，

又k₁·k₂＝1，

所以.

故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.

因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

考点：本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系

点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式