Question

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F₁、F₂.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂.

(ⅰ)证明：＝2.

(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】 (1)解：因为椭圆过点(1，)，e＝，

所以＝1，＝.

又a²＝b²＋c²，

所以a＝，b＝1，c＝1.

故所求椭圆方程为＋y²＝1.

(2)(ⅰ)证明：方法一：由于F₁(－1,0)、F₂(1,0)，PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，且点P不在x轴上，

所以k₁≠k₂，k₁≠0，k₂≠0.

又直线PF₁，PF₂的方程分别为y＝k₁(x＋1)，y＝k₂(x－1)，

联立方程解得

所以P(，)．

由于点P在直线x＋y＝2上，

所以＝2.

因此2k₁k₂＋3k₁－k₂＝0，

即＝2，结论成立．

方法二：设P(x₀，y₀)，则k₁＝，k₂＝.

因为点P不在x轴上，所以y₀≠0.

又x₀＋y₀＝2，

所以＝2.

因此结论成立．

(ⅱ)解：设A(x_A，y_A)，B(x_B，y_B)，C(x_C，y_C)，D(x_D，y_D)．

联立直线PF₁与椭圆的方程得

化简得(2k＋1)x²＋4kx＋2k－2＝0，

因此x_A＋x_B＝－，x_Ax_B＝，

由于OA，OB的斜率存在，

所以x_A≠0，x_B≠0，因此k≠0,1.

因此k_OA＋k_OB＝

＝2k₁＋k₁＝k₁(2－)

＝－＝－.

相似地，可以得到x_C≠0，x_D≠0，k≠0,1，k_OC＋k_OD＝－，

故k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝－2(＋)

＝－2＝－.

若k_OA＋k_OB＋k_OC＋k_OD＝0，

须有k₁＋k₂＝0或k₁k₂＝1.

①当k₁＋k₂＝0时，结合(ⅰ)的结论，可得k₂＝－2，所以解得点P的坐标为(0,2)；

②当k₁k₂＝1时，结合(ⅰ)的结论，解得k₂＝3或k₂＝－1(此时k₁＝－1，不满足k₁≠k₂，舍去)，此时直线CD的方程为y＝3(x－1)，联立方程x＋y＝2得x＝，y＝.

因此P(，)．综上所述，满足条件的点P的坐标分别为(0,2)，(，)．