如图，已知椭圆
＝1(
a＞b＞0)的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(
＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：
，
2a＋2c＝4(＋1)，
所以a＝2，c＝2.
又a2＝b2＋c2，因此b＝2.
故椭圆的标准方程为
＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为
＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，
所以m＝2，
因此双曲线的标准方程为
＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则k1＝
，k2＝
.
因为点P在双曲线x2－y2＝4上，
所以x－y＝4.
因此k1·k2＝·＝
＝1，
即k1·k2＝1.
(3)由于PF1的方程为y＝k1(x＋2)，将其代入椭圆方程得
(2k
＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，
显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.
由韦达定理得x1＋x2＝
，x1x2＝
.
所以|AB|＝
＝
.
同理可得|CD|＝
.
则
，
又k1·k2＝1，
所以
.
故|AB|＋|CD|＝
|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
科目：高中数学 来源：2010年普通高等学校招生全国统一考试、理科数学(山东卷) 题型：044
如图，已知椭圆
＝1(a＞b＞0)的离心率为
．以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4(
＋1)，一等轴双曲线的顶点时该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D．
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程：
(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2＝l；
(Ⅲ)是否存在常数，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在．求λ的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源：2012-2013学年河北省高三3月月考数学试卷（解析版） 题型：解答题
如图，已知椭圆
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(
＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2＝1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)过点(1，)，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2.点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.
(ⅰ)证明：
＝2.
(ⅱ)问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：
在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆
＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.
(1)设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
(2)设x1＝2，x2＝
，求点T的坐标；
(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．
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