Question

【题目】已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：第一问首先将代入题中所给的式子，求得，之后类比着写出时对应的式子，两式相减求得，从而确定出数列是首项为3，公差为2的等差数列，进一步求得其通项公式；第二问利用题中条件求得其公比，借助其首项，利用等比数列求得其通项公式，之后观察是由一个等差数列和一个等比数列对应项积所构成的新数列，利用错位相减法求和即可.

详解：（1）当时，，

即，

因为，所以，

当时，，

即，

因为，所以，

所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，

所以．

（2）因为数列首项为1，公比为的等比数列，，，成等差数列，

所以，即，所以，

又因为，所以，

所以，则，

，①

则，②

由①②得 ，

所以．