试题分析:(Ⅰ)由题意知
,解出
;(Ⅱ)先假设存在这样的点并设出点的坐标
,然后根据斜率相等列出等式,解得
即可;(Ⅲ)有3中解法,1的基本思路是:先利用导数求得
的最小值,然后说明
在
上的最小值不能大于
的最小值,根据这一条件求得
的范围;2的基本思路是:先利用导数求得
的最小值-2,要使总存在
,使得
成立,说明
在
上有解,利用二次函数知识解答;3的基本思路和2有相似地方,只是在说明
在
上有解时,不是利用二次函数知识,而是利用换元和分离参数法解答.
试题解析:⑴∵
,∴
.又
在
处取得极值
.
∴
,即
,解得
,
,经检验满足题意,∴
.
⑵由⑴知
.假设存在满足条件的点
,且
,则
,
又
.则由
,得
,∴
,∵
,
∴
,得
.故存在满足条件的点
此时点
的坐标为
或
.
⑶解法
:
,令
,得
或
.
当
变化时,
、
的变化情况如下表:
∴
在
处取得极小值
,在
处取得极大值
.
又
时,
,∴
的最小值为
.
∵对于任意的
,总存在
,使得
,
∴当
时,
最小值不大于
.又
.
∴当
时,
的最小值为
,由
,得
;
当
时,
最小值为
,由
,得
;
当
时,
的最小值为
.由
,即
,解得
或
.又
,∴此时
不存在.
综上,
的取值范围是
.
解法
:同解法
得
的最小值为
.
∵对于任意的
,总存在
,使得
,∴当
时,
有解,即
在
上有解.设
,则
得
, 或
,得
或
.
∴
或
时,
在
上有解
故
的取值范围是
.
解法
:同解法
得
的最小值为
.
∵对于任意的
,总存在
,使得
,∴当
时,
有解,即
在
上有解.令
,则
,∴
.
∴当
时,
;当
时,得
,不成立,∴
不存在;
当
时,
.令
,∵
时,
,∴
在
上为减函数,∴
,∴
.
综上,
的取值范围是
.