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已知函数处取得极值.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问:是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数的取值范围.
(Ⅰ);(Ⅱ)存在,坐标为;(Ⅲ)的取值范围是.

试题分析:(Ⅰ)由题意知,解出;(Ⅱ)先假设存在这样的点并设出点的坐标,然后根据斜率相等列出等式,解得即可;(Ⅲ)有3中解法,1的基本思路是:先利用导数求得的最小值,然后说明上的最小值不能大于的最小值,根据这一条件求得的范围;2的基本思路是:先利用导数求得的最小值-2,要使总存在,使得成立,说明上有解,利用二次函数知识解答;3的基本思路和2有相似地方,只是在说明上有解时,不是利用二次函数知识,而是利用换元和分离参数法解答.
试题解析:⑴∵,∴.又处取得极值.
,即,解得,,经检验满足题意,∴
⑵由⑴知.假设存在满足条件的点,且,则,
.则由,得,∴,∵,
,得.故存在满足条件的点
此时点的坐标为.
⑶解法 ,令,得.
变化时,的变化情况如下表:













单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
处取得极小值,在处取得极大值.
时,,∴的最小值为.     
∵对于任意的,总存在,使得,
∴当时,最小值不大于.又.
∴当 时,的最小值为,由,得
时,最小值为,由,得
时,的最小值为.由,即,解得.又,∴此时不存在.
综上,的取值范围是.
解法:同解法的最小值为.
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即上有解.设,则
, 或,得.
时,上有解
的取值范围是.
解法:同解法的最小值为.  
∵对于任意的,总存在,使得,∴当时,有解,即上有解.令,则,∴.
∴当时,;当时,得,不成立,∴不存在;
时,.令,∵时,,∴
上为减函数,∴,∴.
综上,的取值范围是.   
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