Question

【题目】已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．

f（1）=0，即点为（1，0），

函数的导数f′（x）=lnx+（x+1） ﹣4，

则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，

即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，

则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2

（2）

∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），

∴f′（x）=1+ +lnx﹣a，

∴f″（x）= ，

∵x＞1，∴f″（x）＞0，

∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．

①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；

②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．

综上所述，a≤2．

【解析】（1）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．；本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
【考点精析】解答此题的关键在于理解简单复合函数的导数的相关知识，掌握复合函数求导：和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数．