Question

【题目】已知数列数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn为其前n项和．

(1)求S1，S2，S3，S4的值；

(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)根据，代入计算，可求的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明时命题也成立即可.

试题解析：(1)依题意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；

(2)猜想：Sn＝(－1)n·n.

证明：①当n＝1时，猜想显然成立；

②假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝(－1)k·k，

那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．

即n＝k＋1时，猜想也成立．

故由①和②可知，猜想成立.